Решение генетических задач на использование метода χ² (критерия Пирсона)

Задача 715.
От скрещивания двух растений с красными цветками получено 166 потомков: 110 красных и 56 белых.
Студент предположил, что признак контролируется аллелями одного гена, красный – доминантный, белый
рецессивный, и родители были Aa × Аa. Проверьте эту гипотезу на достоверность.
Решение:
1. Формируем гипотезу Н₀
Согласно выдвинутой нулевой гипотезы (H₀) - признак контролируется аллелями одного гена, красный – доминантный, белый рецессивный, и родители были Aa × Аa: в F₂ имеет место расщепление 3 : 1 (3/4 - красных, 1/4 белых).

2. Вычислим ожидаемые значения (Ei) числа потомков 
Для выборки такого размера (166 особей) при точном соблюдении расщепления 3 : 1 следует ожидать:

166 ^. 3/4 = 124,5 красных цветков и 166 ^. 1/4 = 41,5 белых цветков.

3. Вычисляем для каждого класса величину χ².
Затем суммируем эти величины и получаем расчётное значение χ²:

χ² = [(110 - 124,5)/124,5] + [(56 - 41,5)/41,5] = 0,466.

4. Определяем по таблице Фишера критическое значение χ² исходя из уровня значимости (р = 0,05) и числа степеней свободы (n = 1):

 χ²_кр. = 3,841.

5. Сравниваем расчётное и критическое значения χ².
В нашем случае расчётное значение χ²_р. (0,466) оказывается меньше критического, следовательно, у нас нет достаточных оснований, что-бы отвергнуть гипотезу H₀ о расщеплении 3 :1.

Выводы: 
1) признак контролируется одним геном A (аллель A — красный окрас цветка, аллель a — белый окрас цветка), в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого расщепления 3:1, отклонение вызвано случайными причинами.
 

Задача 716.
У кур гетерозиготы по аллелю черной окраски В и аллелю белой окраски b имеют «голубое» оперение. При скрещивании двух голубых кур получили расщепление: 18 черных, 42 голубых и 26 белых. Соответствует ли данное расщепление ожидаемому?
Решение:
Общее число потомков:
18 + 42 + 26 = 86.
1. Формируем гипотезу Н₀
Согласно условию задачи - признак контролируется аллелями одного гена, черное оперение – доминантный с неполным доминированием, белое оперение
рецессивный, гетерозигота - «голубое» оперение, и родители были Bb × Bb: в F₂ имеет место расщепление 1:2:1 (1/4 - черных, 2/4 голубых, 1/4 белых). 
2. Вычислим ожидаемые значения (Ei) числа потомков
Для выборки такого размера (86 особей) при точном соблюдении расщепления 1 : 2 : 1 следует ожидать: 
86 ^. 1/4 = 21,5 черное оперение, 86 ^. 1/2 = 43 «голубое» оперение и 866 ^. 1/4 = 21,5 белое оперение.
3. Вычисляем для каждого класса величину χ² 
Затем суммируем эти величины и получаем расчётное значение χ²:

χ² = [(18 - 21,5)/21,5] + [(42 - 43)/41,5] + [(18 - 21,5)/21,5] = 0,312.

4. Определяем по таблице Фишера критическое значение χ² исходя из уровня значимости (р = 0,05) и числа степеней свободы (n = 1):

 χ²_кр. = 3,841.

5. Сравниваем расчётное и критическое значения χ².
В нашем случае расчётное значение χ²_р. (0,312) оказывается меньше критического, следовательно, у нас нет достаточных оснований, что-
бы отвергнуть гипотезу H₀ о расщеплении 1:2:1.

Выводы:
1) признак контролируется одним геном В с неполным доминированием (аллель В — черное оперение, аллель b — белое оперение, гетерозигота Bb — «голубое» оперение), в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого расщепления 1:2:1, отклонение вызвано случайными причинами.
 

Задача 717.
От 4900 отелившихся коров родились 2361 телочек и 2539 бычков. Получено ли в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого соотношения полов 1 : 1?
Решение:
1. Формируем гипотезу Н₀
Согласно условию задачи - соотношения полов 1 : 1.
2. Вычислим ожидаемые значения (Ei) числа потомков
Для выборки такого размера (4900 особей) при точном соблюдении расщепления 1 : 1 следует ожидать:

4900 · 1/2 = 2450 телочек, 4900 · 1/2 = 2450 бычков.

3. Вычисляем для каждого класса величину χ² 
Затем суммируем эти величины и получаем расчётное значение χ²:

χ² = [(2361 - 2450)/2450] + [(2539 - 2450)/2450] = 0,073.

4. Определяем по таблице Фишера критическое значение χ² исходя из уровня значимости (р = 0,05) и числа степеней свободы (n = 1):

 χ²_кр. = 3,841.

5. Сравниваем расчётное и критическое значения χ²
В нашем случае расчётное значение χ²_р. (0,073) оказывается меньше критического, следовательно, у нас нет достаточных оснований, что-
бы отвергнуть гипотезу H₀ о расщеплении 1:1.

Выводы:
1) в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого соотношения полов 1 : 1, отклонение вызвано случайными причинами.
 

Задача 718.
В F2 дигибридного скрещивания получено расщепление по фенотипу: 82 А_B_, 12 A_bb, 33 aaB_ и 8 aabb.
Проверьте его соответствие ожидаемому 9 : 3 : 3 : 1.
Решение:
Общее число потомков в F₂: 135 особей (82 + 12 + 33 + 8 = 135).
1. Формируем гипотезу Н₀
Согласно условию задачи - при дигибридном скрещивании в F₂ получается комбинация фенотипов в соотношении - 9 А_В_ : 3 А_bb : 3 aaB_ : 1 aabb.
2. Вычислим ожидаемые значения (Ei) числа потомков
Для выборки такого размера (135 особей) при точном соблюдении расщепления -
- 9 : 3 : 3 : 1 (9/16 А_В_ : 3/16 А_bb : 3/16 aaB_ : 1/16 aabb) следует ожидать:

135 · 9/16 = 75,9375 А_B_, 135 · 3/16 =
+ 25,3125 А_bb, 135 · 3/16 =
= 25,3125 aaB_, 135 · 1/16 = 8,4375 aabb.
3. Вычисляем для каждого класса величину χ²
Затем суммируем эти величины и получаем расчётное значение χ²:

χ² = [(82 - 75,9375)/75,9375] + [(12 - 25,3125)/25,3125] +
+ [(33 - 25,3125)/25,3125] + [(8 - 8,4375)/8,4375] = 0,8586.

4. Определяем по таблице Фишера критическое значение χ² исходя из уровня значимости (р = 0,05) и числа степеней свободы (n = 3):

 χ²_кр. = 7,815.

5. Сравниваем расчётное и критическое значения χ²
В нашем случае расчётное значение χ²_р. (0,856) оказывается меньше критического, следовательно, у нас нет достаточных оснований, что-бы отвергнуть гипотезу H₀ о расщеплении 9 : 3 : 3 : 1.

Выводы:
1) признаки контролируются двумя доминантными генами А и В, в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого расщепления 9 : 3 : 3 : 1, т.е. отклонение вызвано случайными причинами.
 

Задача 719.
Скрестили дрозофил дикого типа (серое тело, нормальные глаза) с линией, гомозиготной по рецессивным генам b (black – черное тело) и g (glass – блестящие глаза). В F₁ все мухи были дикого типа. В F₂ от скрещивания их между собой получили следующее расщепление:
серое тело нормальные глаза - 164;
серое тело блестящие глаза - 59;
черное тело нормальные глаза - 37;
черное тело блестящие глаза - 28.
1) Проверьте гипотезу о том, что это расщепление 9 : 3 : 3 : 1, и отклонение вызвано случайными причинами.
2) Определите вероятность, с которой эта гипотеза верна.
3) Если гипотеза окажется маловероятной, то какую альтернативную гипотезу наследования данных
признаков вы бы предложили?
Решение:
Общее число потомков в F₂: 288 особей (164 + 59 + 37 + 28 = 288).
Так как по условию задачи дано, что расщепление происходит по четырем фенотипическим классам, то число степеней свободы k = n – 1, где n – число фенотипических классов. Тогда в нашем случае число степеней свободы равно 3 (k = 4 – 1 = 3).
Ι Проверка гипотезы
1. Формируем гипотезу Н₀
Согласно условию задачи - при дигибридном скрещивании в F₂ получается комбинация фенотипов в соотношении - 9 : 3 : 3 : 1.
2. Вычислим ожидаемые значения (Ei) числа потомков. Для выборки такого размера (288 особей) при точном соблюдении расщепления -
- 9 : 3 : 3 : 1 (9/16 : 3/16 : 3/16 : 1/16) следует ожидать:

288 · 9/16 = 162, 288 · 3/16 =
= 54, 288 · 3/16 = 54, 288 · 1/16 = 18.
3. Вычисляем для каждого класса величину χ². Затем суммируем эти величины и получаем расчётное значение χ²:

χ² = [(164 - 162)/162] + [(59 - 54)/54] +
+ [(37 - 54)/54] + [(28 - 18)/18] = 0,9752.

4. Определяем по таблице Фишера критическое значение χ2 исходя из уровня значимости (р = 0,05) и числа степеней свободы (n = 3):

 χ²_кр. = 7,815.

5. Сравниваем расчётное и критическое значения χ².
В нашем случае расчётное значение χ²_р. (0,975) оказывается меньше критического (7,815), следовательно, у нас нет достаточных оснований, что-
бы отвергнуть гипотезу H₀ о расщеплении 9 : 3 : 3 : 1.

ΙΙ Определение вероятности, с которой гипотеза Н₀ верна
Поскольку каждому отклонению соответствует определенный χ², то мы можем предсказать вероятности различных значений χ² для случая, когда наша гипотеза Н₀ верна. Понятно, что чем больше отклонение, тем меньше ожидается таких фактических расщеплений, а значит, чем больше χ², тем меньше его вероятность. Для определения вероятности, с которой наша гипотеза верна используем таблицу Фишера.
Из таблицы видно, что для числа степеней свободы 3 наше значение χ² = 0,975 попадает в промежуток вероятностей от 0,90 до 0,50. Это значит, что даже если бы наш χ² был еще больше – 2,37, то все равно 50% фактических расщеплений, соответствующих нашей гипотезе, имели бы такое или даже большее отклонение от теоретического. Конечно, в этом случае гипотезу надо принять. 
В статистике существует соглашение, что гипотеза принимается, если такое расщепление могут иметь более 5% фактических расщеплений. Иными словами, если наш χ² < табличного для уровня значимости 0,05 → гипотеза принимается,
если наш χ² > табличного для уровня значимости 0,05 → гипотеза отвергается.

Выводы:
1) признаки контролируются двумя доминантными генами B и G, в данном случае достоверное отклонение от ожидаемого расщепления 9 : 3 : 3 : 1, т.е. отклонение вызвано случайными причинами;
2) вероятность верности гипотеза Н₀ составляет промежуток 0,50 до 0,90 (50% - 90%).